la trigonometria

tercer cuadrante

Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo $\alpha = \pi \,$ rad a $\alpha = 1,5 \pi \,$ rad, se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desde los que toman para $\pi \,$ rad:

$\operatorname {sen} \frac{3\pi}{2} = -1 \,$

$\cos \frac{3\pi}{2} = 0 \,$

$\tan \frac{3\pi}{2} = No Definida,$

Cuando el ángulo $\alpha \,$ aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento $\overline{OC}$ , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, $\overline{CB}$ .

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, $\overline{ED}$ , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo $\alpha \,$ alcance $1,5 \pi \,$ rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento $\overline{CB}$ será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

$\tan \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha} {\cos \alpha}$

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que a medida que el coseno se acerca a valores cercanos a cero, la tangente tiende a infinito.

segundo cuadrante

Segundo cuadrante

Cuando el ángulo $\alpha \,$ supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento $\overline{CB}$ , el coseno aumenta según el segmento $\overline{OC}$ , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo $\alpha \,$ inferior a $0,5\pi \,$ rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los $0,5\pi \,$ rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente $\overline{ED}$ por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo $\alpha \,$ aumenta progresivamente hasta los $\pi \,$ rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de $\alpha \,$ , $\overline{CB}$ , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para $\alpha = 0,5 \pi \,$ rad, hasta que valga 0, para $\alpha = \pi \,$ rad, el coseno, $\overline{OC}$ , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para $\alpha = 0,5 \pi \,$ rad, hasta –1, para $\alpha = \pi \,$ rad.

La tangente conserva la relación:

$\tan \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha} {\cos \alpha}$

incluyendo el signo de estos valores.

Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

$\operatorname {sen} \; \pi = 0 \,$

$\cos \pi = -1 \,$

$\tan \pi = 0 \,$

primer cuadrante

Primer cuadrante

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo $\alpha \,$ .

Para $\alpha = 0 \,$ , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

$\operatorname {sen} 0 = 0 \,$

$\cos 0 = 1 \,$

$\tan 0 = 0 \,$

Si aumentamos progresivamente el valor de $\alpha \,$ , las distancias $\overline{CB}$ y $\overline{ED}$ aumentarán progresivamente, mientras que $\overline{OC}$ disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.

Los segmentos: $\overline{OC}$ y $\overline{CB}$ están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero $\overline{ED}$ no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo $\alpha = 0,5 \pi \,$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia $\overline{ED}$ será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

$\operatorname {sen} \frac{\pi}{2} = 1 \,$

$\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,$

$\tan \frac{\pi}{2} = No Definida$