la trigonometria: 2012

Cálculo de algunos casos

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se cortan en el centro de la circunferencia O, estas rectas cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta horizonte AC también la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonométricas:

para el seno:

$sen \; \alpha = \cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} = \overline{EF}$

dado que:

$\overline{OF} = 1$

Para el coseno:

$cos \; \alpha = \cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} = \overline{OE}$

dado que:

$\overline{OF} = 1$

Para la tangente:

$tan \; \alpha = \cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OE}} = \cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} = \overline{AG}$

dado que:

$\overline{OA} = 1$

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

[editar]Para 90-α

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α en el sentido horario, la recta r forma con el eje x un ángulo 90-α, el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo conocidas las de α serán:

El triángulo OEF rectángulo en E, siendo el ángulo en F α, por lo tanto:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (90-\alpha) = cos \; \alpha$

en el mismo triángulo OEF, tenemos que:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (90-\alpha) = sen \; \alpha$

viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el ángulo en G igual a α, podemos ver:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (90-\alpha) = \cfrac{1}{tan \; \alpha}$

[editar]Para 90+α

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α, medido en sentido trigonométrico, el ángulo formado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α. La prolongación de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G.

El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F es α, por lo tanto tenemos que:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (90+\alpha) = cos \; \alpha$

En el mismo triángulo OEF podemos ver:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (90+\alpha) = -sen \; \alpha$

En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ángulo en G, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (90+\alpha) = \cfrac{-1}{tan \; \alpha}$

[editar]Para 180-α

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ángulo α, el ángulo entre el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo ángulo enO es α, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (180-\alpha) = sen \; \alpha$

en el mismo triángulo OEF:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (180-\alpha) = -cos \; \alpha$

En el triángulo OAG, rectángulo en A y con ángulo en O igual a α, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (180-\alpha) = -tan \; \alpha$

[editar]Para 180+α

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ángulo α trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de 180+α, como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (180+\alpha) = -sen \; \alpha$

en el mismo triángulo OEF tenemos:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (180+\alpha) = -cos \; \alpha$

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (180+\alpha) = tan \; \alpha$

[editar]Para 270-α

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido horario trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270-α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (270-\alpha) = -cos \; \alpha$

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (270-\alpha) = -sen \; \alpha$

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (270-\alpha) = \cfrac{1}{tan \; \alpha}$

[editar]Para 270+α

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido trigonométrico, trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270+α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (270+\alpha) = -cos \; \alpha$

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (270+\alpha) = sen \; \alpha$

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (270+\alpha) = \cfrac{-1}{tan \; \alpha}$